以前はログイン出来た記憶があるのですが、どこかのタイミングでまったくログインできなくなりました。
パスワードを何度も入れ直したり(少なくとも30回ぐらい)、パスワードを変更してみたり、携帯のブラウザの設定を調整したり何度もトライしても解決できませんでした。当然、Gmailのヘルプを見ても該当項目が見当たりません。

そこで、もうちょっと丁寧に調べたところ、原因と対策方法があったのでご紹介します。これで解決してスッキリしました。


繰り返しパスワード入力を求められログインできない – softbank 922SHの流れを読んで一番最後の回答で明確な答えを得られました。

SoftBankはSSL接続で必ずsecure.softbank.ne.jpを通して接続します

というのが原因にありそうですが、

モバイルgmailにログイン後メール画面が開きません – モバイルによるアクセス | Google グループより引用:
webで調べてみると以下の方法がみつかりましたので書いておきます。
PCでgmailを開き「設定-全般-ブラウザ接続」に2つの選択肢があります。
1.常に https を使用する
2.場合によっては https を使用しない
2を選択し、モバイルgmailからアクセスすると解決しました。

とあるように携帯電話側の設定ではなくPCのGmailの設定画面で上記の設定を行うと、接続できるようになりました。「secure.softbank.ne.jp」のSSL(https://)接続でブックマークされている方はうまくいかないので、再度URLを入力してチャレンジしてみてください。

なお、このおかげで同じようにアクセスできなかったGoogleカレンダーにアクセス出来て、大満足です!